Движение по… — Задание 21 ОГЭ по математике №00044056

Два велосипедиста проезжают одну и ту же дистанцию $120$ км, но с разными скоростями, поэтому и времени тратят разное. Связывать их будем через время: время = путь : скорость.

Спрашивают скорость того, кто приехал вторым, — это более медленный велосипедист. Пусть его скорость $x$ км/ч ($x\gt 0$). Первый едет на $5$ км/ч быстрее, его скорость $x+5$ км/ч.

Время второго в пути $\dfrac{120}{x}$ ч, время первого $\dfrac{120}{x+5}$ ч. Первый быстрее, поэтому его время меньше, а разница составляет $2$ часа:

$$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+5}=2.$$

Умножим обе части на $x(x+5)$. Это положительное число, поэтому равенство не испортится, а дроби пропадут:

$$120(x+5)-120x=2x(x+5).$$

Слева $120x+600-120x=600$, справа $2x^{2}+10x$. Получаем $2x^{2}+10x=600$, делим обе части на $2$: $x^{2}+5x-300=0$.

Дискриминант: $D=5^{2}-4\cdot 1\cdot(-300)=25+1200=1225=35^{2}$.

Корни: $x_1=\dfrac{-5+35}{2}=15$, $x_2=\dfrac{-5-35}{2}=-20$. Скорость не может быть отрицательной, поэтому $x=15$ км/ч.

Проверим себя: второй едет $120:15=8$ ч, первый — со скоростью $15+5=20$ км/ч — тратит $120:20=6$ ч. Разница $8-6=2$ ч, как и сказано в условии.