Движение по… — Задание 21 ОГЭ по математике №00044061

Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно навстречу друг другу и через $24$ минуты встретились. Расстояние не дано, поэтому будем работать с отношением скоростей.

Пусть мотоциклист быстрее велосипедиста в $r$ раз ($r\gt 1$, ведь он приехал раньше). До встречи оба ехали одинаковые $24$ минуты, поэтому мотоциклист проехал в $r$ раз больший отрезок, чем велосипедист.

После встречи велосипедисту осталось проехать отрезок мотоциклиста — он в $r$ раз длиннее его собственного, который он проехал за $24$ мин. Значит, на остаток у велосипедиста уйдёт $24r$ минут.

Мотоциклисту после встречи осталось проехать отрезок велосипедиста — он в $r$ раз короче, а едет мотоциклист в $r$ раз быстрее. Значит, на остаток у него уйдёт $\dfrac{24}{r}$ минут.

До встречи оба ехали поровну, поэтому разница во времени прибытия — это разница остатков. Она равна $36$ минутам:

$$24r-\frac{24}{r}=36.$$

Разделим обе части на $12$: $2r-\dfrac{2}{r}=3$. Умножим на $r\gt 0$: $2r^{2}-2=3r$, то есть $2r^{2}-3r-2=0$.

Дискриминант: $D=(-3)^{2}-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25=5^{2}$. Корни: $r_1=\dfrac{3+5}{4}=2$, $r_2=\dfrac{3-5}{4}=-\dfrac{1}{2}$. Отношение скоростей положительно, поэтому $r=2$.

Велосипедист был в пути $24$ мин до встречи и $24\cdot 2=48$ мин после: всего $72$ мин $=\dfrac{72}{60}$ ч $=1{,}2$ ч.

Проверим себя: мотоциклист ехал $24+\dfrac{24}{2}=36$ мин, разница $72-36=36$ мин — как в условии. И ещё: за минуту вместе они проезжают $\dfrac{1}{72}+\dfrac{1}{36}=\dfrac{3}{72}=\dfrac{1}{24}$ пути, то есть встречаются через $24$ минуты.