Движение по… — Задание 21 ОГЭ по математике №00044060

Мотоциклист и велосипедист едут навстречу друг другу по одной дороге. Расстояние между городами не дано — и оно не понадобится: примем весь путь за $1$ и будем считать, какую долю пути каждый проезжает за минуту.

Пусть велосипедист проезжает весь путь за $t$ минут. Выехали они одновременно, а мотоциклист приехал на $56$ минут раньше, значит, на весь путь он тратит $t-56$ минут. Поэтому $t\gt 56$.

За одну минуту велосипедист проезжает $\dfrac{1}{t}$ пути, мотоциклист — $\dfrac{1}{t-56}$ пути. До встречи каждый ехал $21$ минуту, и вместе они проехали весь путь:

$$\frac{21}{t}+\frac{21}{t-56}=1.$$

Умножим обе части на $t(t-56)$ — при $t\gt 56$ это положительное число:

$$21(t-56)+21t=t(t-56).$$

Слева $21t-1176+21t=42t-1176$, справа $t^{2}-56t$. Переносим всё в правую часть: $t^{2}-56t-42t+1176=0$, то есть $t^{2}-98t+1176=0$.

Дискриминант: $D=98^{2}-4\cdot 1176=9604-4704=4900=70^{2}$.

Корни: $t_1=\dfrac{98+70}{2}=84$, $t_2=\dfrac{98-70}{2}=14$. Корень $14$ не подходит: тогда мотоциклист ехал бы $14-56\lt 0$ минут. Значит, $t=84$ минуты.

Ответ нужен в часах: $84$ мин $=\dfrac{84}{60}$ ч $=1{,}4$ ч.

Проверим себя: мотоциклист был в пути $84-56=28$ мин. За $21$ минуту велосипедист проезжает $\dfrac{21}{84}=\dfrac{1}{4}$ пути, мотоциклист — $\dfrac{21}{28}=\dfrac{3}{4}$ пути. Вместе $\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1$, то есть весь путь, — всё сходится.