Движение по… — Задание 21 ОГЭ по математике №00044057

Два автомобиля проезжают одинаковые $420$ км. Вместо скорости здесь удобно взять за неизвестное время в пути — уравнение выйдет короче.

Пусть первый автомобиль был в пути $t$ ч ($t\gt 0$). Выехали они одновременно, а первый приехал на $2$ ч раньше, значит, второй был в пути $t+2$ ч.

Скорость = путь : время. Скорость первого $\dfrac{420}{t}$ км/ч, второго — $\dfrac{420}{t+2}$ км/ч.

Первый быстрее на $24$ км/ч, поэтому из его скорости вычитаем скорость второго:

$$\frac{420}{t}-\frac{420}{t+2}=24.$$

Умножим обе части на $t(t+2)$ — это положительное число, равенство сохранится:

$$420(t+2)-420t=24t(t+2).$$

Слева $420t+840-420t=840$, справа $24t^{2}+48t$. Получаем $24t^{2}+48t=840$. Разделим обе части на $24$: $t^{2}+2t=35$, то есть $t^{2}+2t-35=0$.

Дискриминант: $D=2^{2}+4\cdot 35=4+140=144=12^{2}$. Корни: $t_1=\dfrac{-2+12}{2}=5$, $t_2=\dfrac{-2-12}{2}=-7$. Время не бывает отрицательным, значит, $t=5$ ч.

Спрашивают скорость первого автомобиля: $420:5=84$ км/ч.

Проверим себя: второй был в пути $5+2=7$ ч, его скорость $420:7=60$ км/ч. Разница скоростей $84-60=24$ км/ч — как в условии.