Задание 21 ОГЭ по математике №00044059

Две трубы наполняют один и тот же резервуар на $300$ литров. Трубу удобно представлять как путника: производительность (литры в минуту) — это её «скорость», объём — «путь», а время = объём : производительность.

Первая труба пропускает больше, значит, вторая слабее и наполняет резервуар дольше. Пусть вторая пропускает $x$ л/мин ($x\gt 0$), тогда первая — $x+5$ л/мин.

Время второй $\dfrac{300}{x}$ мин, время первой $\dfrac{300}{x+5}$ мин. Вторая работает на $3$ мин дольше:

$$\frac{300}{x}-\frac{300}{x+5}=3.$$

Умножим обе части на $x(x+5)$ — это положительное число:

$$300(x+5)-300x=3x(x+5).$$

Слева $300x+1500-300x=1500$, справа $3x^{2}+15x$. Получаем $3x^{2}+15x=1500$, делим на $3$: $x^{2}+5x-500=0$.

Дискриминант: $D=5^{2}+4\cdot 500=25+2000=2025=45^{2}$. Корни: $x_1=\dfrac{-5+45}{2}=20$, $x_2=\dfrac{-5-45}{2}=-25$. Производительность отрицательной не бывает, поэтому $x=20$.

Проверим себя: вторая труба наполняет резервуар за $300:20=15$ мин, первая ($20+5=25$ л/мин) — за $300:25=12$ мин. Разница $15-12=3$ мин — как в условии.