Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00038499

Слева сумма двух квадратов, справа ноль. Раскрывать квадраты не нужно — получится многочлен четвёртой степени. Всё решает рассуждение о знаках.

Ключевая идея. Квадрат любого выражения неотрицателен: он либо равен нулю, либо больше нуля. Сумма двух неотрицательных величин равна нулю только тогда, когда каждая из них равна нулю.

Значит уравнение равносильно системе: x² − 4 = 0 и одновременно x² − 6x − 16 = 0.

Первое уравнение: x² = 4, откуда x = 2 или x = −2.

Второе уравнение: x² − 6x − 16 = 0, дискриминант D = (−6)² − 4·1·(−16) = 36 + 64 = 100, √D = 10, корни x = (6 − 10)/2 = −2 и x = (6 + 10)/2 = 8.

Пересекаем наборы. Первое уравнение дало {2; −2}, второе — {−2; 8}. Общее значение одно: x = −2.

Проверка. При x = −2: первая скобка 4 − 4 = 0; вторая скобка 4 + 12 − 16 = 0. Сумма квадратов равна 0 — верно. Для сравнения x = 2: первая скобка 0, вторая 4 − 12 − 16 = −24, сумма 0 + 576 = 576 ≠ 0 — не подходит.