Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00038497

Если раскрыть все скобки, получится кубическое уравнение, а формулы корней для него нет. Значит нужно раскладывать на множители — и подсказка спрятана во второй скобке.

Свёртываем полный квадрат. x² + 8x + 16 = (x + 4)² — формула квадрата суммы. Уравнение принимает вид (x − 2)(x + 4)² = 7(x + 4).

Теперь множитель (x + 4) есть и слева, и справа. Переносим всё влево: (x − 2)(x + 4)² − 7(x + 4) = 0. Сокращать на (x + 4) нельзя — потеряется корень; выносим его за скобку: (x + 4)·[(x − 2)(x + 4) − 7] = 0.

Упрощаем квадратную скобку. (x − 2)(x + 4) = x² + 4x − 2x − 8 = x² + 2x − 8. Вычитаем 7: x² + 2x − 8 − 7 = x² + 2x − 15. Итого (x + 4)(x² + 2x − 15) = 0.

Приравниваем множители к нулю. Первый: x + 4 = 0 → x = −4. Второй: x² + 2x − 15 = 0, дискриминант D = 2² − 4·1·(−15) = 4 + 60 = 64, √D = 8, корни x = (−2 − 8)/2 = −5 и x = (−2 + 8)/2 = 3.

Проверка. При x = −4: слева (−4 − 2)·(16 − 32 + 16) = (−6)·0 = 0, справа 7·0 = 0 — верно. При x = −5: слева (−7)·(25 − 40 + 16) = (−7)·1 = −7, справа 7·(−1) = −7 — верно. При x = 3: слева 1·(9 + 24 + 16) = 49, справа 7·7 = 49 — верно. Все три корня подходят.