Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038441

Дробь должна быть не больше нуля. Умножать обе части на знаменатель нельзя — его знак неизвестен. Разберём числитель и знаменатель по отдельности: знак дроби определяется знаками её частей.

Область допустимых значений. Знаменатель не равен нулю: x + 6 ≠ 0, то есть x ≠ −6.

Разбираем числитель. 2x² − 16x + 32 = 2(x² − 8x + 16). В скобке — полный квадрат: x² − 8x + 16 = (x − 4)². Проверим: (x − 4)² = x² − 8x + 16 — да, совпало. Значит числитель равен 2(x − 4)².

Неравенство принимает вид: 2(x − 4)²/(x + 6) ≤ 0.

Тут главное наблюдение: множитель 2(x − 4)² никогда не бывает отрицательным — он либо равен нулю (при x = 4), либо строго положителен. Значит знак всей дроби задаёт знаменатель, а точку x = 4 надо разобрать отдельно.

Случай 1: x = 4. Числитель равен нулю, знаменатель 4 + 6 = 10 ≠ 0, вся дробь равна 0. Ноль условию «≤ 0» удовлетворяет, значит x = 4 входит в ответ.

Случай 2: x ≠ 4. Тогда числитель строго положителен, и чтобы дробь была отрицательной, знаменатель обязан быть отрицательным: x + 6 < 0, откуда x < −6. Точка −6 не входит — там знаменатель обращается в нуль, дробь не определена.

Проверка по точкам. При x = −7: числитель 2·(−7 − 4)² = 2·121 = 242, знаменатель −1, дробь −242 < 0 — подходит. При x = 0: числитель 32, знаменатель 6, дробь ≈ 5,33 > 0 — не подходит. При x = 5: числитель 2·1 = 2, знаменатель 11, дробь > 0 — не подходит. Всё сходится.

Итог: весь луч левее −6 (сама точка −6 выколота) и отдельно стоящая точка 4.