Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038464

Слева дробь, которая должна быть не меньше нуля. Числитель здесь — постоянное число, и это решает дело: знак дроби задаёт только знаменатель.

Смотрим на числитель. Он равен −12: всегда отрицателен и никогда не обращается в нуль. Значит и сама дробь нулём стать не может, так что условие «≥ 0» на деле означает «> 0».

Когда дробь с отрицательным числителем положительна? Только если знаменатель тоже отрицателен — минус на минус даёт плюс. Значит нужно (x − 1)² − 2 < 0.

Решаем. (x − 1)² < 2. Запишем 2 как (√2)² и применим формулу разности квадратов: (x − 1)² − (√2)² < 0, то есть (x − 1 − √2)(x − 1 + √2) < 0.

Это парабола ветвями вверх с корнями x = 1 + √2 и x = 1 − √2; между корнями она лежит ниже оси. Получаем 1 − √2 < x < 1 + √2. Концы не входят: в них знаменатель обращается в нуль и дробь не определена.

Численно: √2 ≈ 1,41, значит промежуток примерно от −0,41 до 2,41.

Проверка по точкам. При x = 1: знаменатель (1 − 1)² − 2 = −2, дробь −12/(−2) = 6 > 0 — подходит. При x = 3: знаменатель 4 − 2 = 2, дробь −6 < 0 — не подходит. При x = −1: знаменатель 4 − 2 = 2, дробь −6 < 0 — не подходит. Всё сходится.