ID: 00038442
Источник: ФИПИ
Слева произведение двух квадратных трёхчленов, оно должно быть не больше нуля. Перемножать скобки нельзя — получится четвёртая степень. Разложим каждый трёхчлен на линейные множители, тогда знак произведения станет виден.
Первая скобка. Решаем x² − 2x − 15 = 0: дискриминант D = (−2)² − 4·1·(−15) = 4 + 60 = 64, √D = 8, корни x = (2 − 8)/2 = −3 и x = (2 + 8)/2 = 5. Значит x² − 2x − 15 = (x + 3)(x − 5).
Вторая скобка. Решаем x² − 7x + 10 = 0: D = (−7)² − 4·1·10 = 49 − 40 = 9, √D = 3, корни x = (7 − 3)/2 = 2 и x = (7 + 3)/2 = 5. Значит x² − 7x + 10 = (x − 2)(x − 5).
Собираем неравенство: (x + 3)(x − 5)(x − 2)(x − 5) ≤ 0, то есть (x + 3)(x − 2)(x − 5)² ≤ 0.
Множитель (x − 5) встретился в обеих скобках и сложился в квадрат. Квадрат никогда не бывает отрицательным: он либо равен нулю (при x = 5), либо строго положителен. На знак произведения он не влияет, но точку x = 5 надо разобрать отдельно.
Случай 1: x = 5. Тогда (x − 5)² = 0, произведение равно нулю, а ноль условию «≤ 0» удовлетворяет. Значит x = 5 входит в ответ.
Случай 2: x ≠ 5. Тогда (x − 5)² > 0, делим на него обе части, знак сохраняется: (x + 3)(x − 2) ≤ 0. Это парабола ветвями вверх с корнями −3 и 2; между корнями она ниже оси. Получаем −3 ≤ x ≤ 2.
Проверка по точкам исходного произведения: при x = 0 → (−15)·10 = −150 < 0 — подходит; при x = 3 → (9 − 6 − 15)·(9 − 21 + 10) = (−12)·(−2) = 24 > 0 — не подходит; при x = 6 → 9·4 = 36 > 0 — не подходит; при x = −4 → 9·54 = 486 > 0 — не подходит. Всё сходится.
Складываем оба случая: отрезок от −3 до 2 включительно и отдельно стоящая точка 5.