Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038452

Слева дробь, и она должна быть не меньше нуля. Числитель здесь — постоянное число, и это сильно упрощает дело: знак дроби целиком определяется знаменателем.

Смотрим на числитель. Он равен −16 — всегда отрицателен и никогда не обращается в нуль. Значит и сама дробь нулём стать не может, а «≥ 0» на деле означает «> 0».

Когда дробь с отрицательным числителем положительна? Только когда знаменатель тоже отрицателен: минус на минус даёт плюс. Значит требуется (x + 2)² − 5 < 0.

Решаем это неравенство: (x + 2)² < 5. Здесь удобно применить формулу разности квадратов, записав 5 как (√5)²: (x + 2)² − (√5)² < 0, то есть (x + 2 − √5)(x + 2 + √5) < 0.

Это парабола ветвями вверх относительно x с корнями x = −2 + √5 и x = −2 − √5. Между корнями она отрицательна, значит −2 − √5 < x < −2 + √5. Концы не входят: там знаменатель обращается в нуль, и дробь не определена.

Прикинем численно: √5 ≈ 2,24, поэтому промежуток примерно от −4,24 до 0,24.

Проверка по точкам. При x = 0: знаменатель (0 + 2)² − 5 = 4 − 5 = −1, дробь −16/(−1) = 16 > 0 — подходит. При x = 1: знаменатель 9 − 5 = 4, дробь −16/4 = −4 < 0 — не подходит. При x = −5: знаменатель (−3)² − 5 = 4, дробь −4 < 0 — не подходит. Всё сходится.