Задание 8 ОГЭ по математике №00043955

В дроби стоят степени чисел $27$ и $9$. Считать $27^{5}$ и $9^{6}$ напрямую долго, поэтому воспользуемся тем, что $27$ и $9$ связаны между собой.

Заметим, что $27=3\cdot 9$. Правило: степень произведения равна произведению степеней, $(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$. Поэтому

$$27^{5}=(3\cdot 9)^{5}=3^{5}\cdot 9^{5}.$$

Теперь в числителе тоже есть девятки. Делим степени с одинаковым основанием — показатели вычитаются: $\dfrac{9^{5}}{9^{6}}=9^{5-6}=9^{-1}=\dfrac{1}{9}$. Получаем

$$\dfrac{27^{5}}{9^{6}}=\dfrac{3^{5}\cdot 9^{5}}{9^{6}}=\dfrac{3^{5}}{9}.$$

Осталось посчитать: $3^{5}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=243$, и $243:9=27$, потому что $9\cdot 27=243$.

Проверим себя вторым способом — через степени тройки: $27^{5}=(3^{3})^{5}=3^{15}$, $9^{6}=(3^{2})^{6}=3^{12}$, и $\dfrac{3^{15}}{3^{12}}=3^{3}=27$. Сходится.