Задание 8 ОГЭ по математике №00043947

Здесь перемножаются два корня, и под каждым есть множитель, из которого корень извлекается, и «неудобная» десятка. Разберёмся с каждым корнем отдельно, а потом перемножим.

Правило: корень из произведения равен произведению корней, $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$. Поэтому из каждого корня можно вынести то, что извлекается.

Первый корень: $\sqrt{10\cdot 7^{2}}=\sqrt{7^{2}}\cdot\sqrt{10}=7\sqrt{10}$.

Второй корень: $2^{6}=(2^{3})^{2}=8^{2}$, поэтому $\sqrt{10\cdot 2^{6}}=\sqrt{8^{2}}\cdot\sqrt{10}=8\sqrt{10}$. Показатель $6$ при извлечении квадратного корня делится пополам: $\sqrt{2^{6}}=2^{3}=8$.

Перемножаем: $7\sqrt{10}\cdot 8\sqrt{10}=7\cdot 8\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}$. Произведение двух одинаковых корней равно подкоренному числу: $\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}=10$. Значит,

$$7\cdot 8\cdot 10=56\cdot 10=560.$$

Проверим себя другим путём, собрав всё под один корень: $\sqrt{10\cdot 49}\cdot\sqrt{10\cdot 64}=\sqrt{100\cdot 49\cdot 64}=10\cdot 7\cdot 8=560$. Сходится.