Задание 8 ОГЭ по математике №00043945

Нужно найти значение дроби при $t=6$. Если подставить сразу, получится $6^{21}$ — огромное число. Поэтому сначала упростим выражение по свойствам степеней, а число подставим в конце.

Числитель: $(t^{7})^{3}$ — степень, возведённая в степень. Это $t^{7}\cdot t^{7}\cdot t^{7}$, то есть всего $7+7+7=21$ множитель $t$. Правило: при возведении степени в степень показатели перемножаются:

$$(t^{7})^{3}=t^{7\cdot 3}=t^{21}.$$

Знаменатель: $t^{18}$ — восемнадцать множителей $t$. Каждый множитель снизу сокращается с одним множителем сверху, поэтому сверху остаётся $21-18=3$ множителя. Правило: при делении степеней с одним основанием показатели вычитаются:

$$\dfrac{t^{21}}{t^{18}}=t^{21-18}=t^{3}.$$

Теперь подставляем $t=6$: $6^{3}=6\cdot 6\cdot 6=36\cdot 6=216$.

Проверим упрощение на маленьком числе, например $t=2$: $(2^{7})^{3}=128^{3}=2\,097\,152$, $2^{18}=262\,144$, и $2\,097\,152:262\,144=8=2^{3}$. Правила сработали верно.