Задание 8 ОГЭ по математике №00043954

В дроби сверху и снизу стоят степени разных чисел — $16$ и $8$. Вычислять их напрямую долго: $16^{4}$ и $8^{6}$ — большие числа. Зато оба основания — степени двойки, и это всё упрощает.

Запишем основания через двойку: $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{4}$, $8=2\cdot 2\cdot 2=2^{3}$.

Правило «степень в степени»: показатели перемножаются, $(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$. Поэтому

$$16^{4}=(2^{4})^{4}=2^{16},\qquad 8^{6}=(2^{3})^{6}=2^{18}.$$

Теперь делим степени с одинаковым основанием — показатели вычитаются: $16-18=-2$.

$$\dfrac{2^{16}}{2^{18}}=2^{-2}=\dfrac{1}{2^{2}}=\dfrac{1}{4}=0{,}25.$$

Проверим себя честным счётом: $16^{4}=65\,536$, $8^{6}=262\,144$. И $65\,536\cdot 4=262\,144$, то есть числитель ровно в $4$ раза меньше знаменателя. Сходится.