Четырёхуголь… — Задание 23 ОГЭ по математике №00039052

Сделаем дополнительное построение: продолжим боковые стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $P$.

Шаг 1. Угол при точке $P$ прямой. В треугольнике $APD$ углы при вершинах $A$ и $D$ — это углы трапеции при основании $AD$, а их сумма по условию равна $90^{\circ}$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, поэтому $\angle APD=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$. Итак, прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны — это и есть ключ к задаче.

Шаг 2. Подобие. Так как $BC\parallel AD$, треугольник $PBC$ подобен треугольнику $PAD$ с коэффициентом

$k=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$.

Значит $PB=k\cdot PA=\dfrac{1}{8}PA$.

Шаг 3. Находим $PA$ и $PB$. Точка $B$ лежит между $P$ и $A$, поэтому $AB=PA-PB=PA\left(1-\dfrac{1}{8}\right)=\dfrac{7}{8}PA$. Из равенства $\dfrac{7}{8}PA=14$ получаем $PA=16$, а тогда $PB=\dfrac{1}{8}\cdot 16=2$.

Шаг 4. Радиус. Введём координаты: $P$ — начало, ось $Ox$ вдоль луча $PA$, ось $Oy$ вдоль луча $PD$ (оси перпендикулярны по шагу 1). Тогда $A(16;0)$, $B(2;0)$, а прямая $CD$ — это сама ось $Oy$.

Центр $O$ окружности, проходящей через $A$ и $B$, равноудалён от них, поэтому лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, то есть его абсцисса равна $\dfrac{16+2}{2}=9$. Окружность касается оси $Oy$, а значит расстояние от центра до этой оси равно радиусу. Это расстояние и есть абсцисса центра:

$R=9$.

Тот же расчёт одной формулой: $R=\dfrac{PA+PB}{2}=\dfrac{AB(AD+BC)}{2(AD-BC)}=\dfrac{14\cdot(32+4)}{2\cdot(32-4)}=\dfrac{504}{56}=9$.