Четырёхуголь… — Задание 23 ОГЭ по математике №00039054

Продолжим боковые стороны трапеции $AB$ и $DC$ до их пересечения в точке $P$.

Шаг 1. Прямой угол. Углы трапеции при основании $AD$ становятся двумя углами треугольника $APD$, а по условию их сумма равна $90^{\circ}$. Так как сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, получаем $\angle APD=90^{\circ}$: прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

Шаг 2. Подобие. $BC\parallel AD$, поэтому треугольник $PBC$ подобен треугольнику $PAD$ с коэффициентом

$k=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{24}{32}=\dfrac{3}{4}$.

Здесь основания трапеции близки по длине, значит точка $P$ находится далеко от неё, и отрезки $PA$, $PB$ окажутся большими.

Шаг 3. Ищем $PA$ и $PB$. $AB=PA-PB=PA(1-k)=\dfrac{1}{4}PA$. Из $\dfrac{1}{4}PA=7$ находим $PA=28$, а $PB=\dfrac{3}{4}\cdot 28=21$.

Шаг 4. Радиус. Введём координаты: $P(0;0)$, ось $Ox$ вдоль луча $PA$, ось $Oy$ вдоль луча $PD$. Тогда $A(28;0)$, $B(21;0)$, а прямая $CD$ — это ось $Oy$.

Центр окружности, проходящей через $A$ и $B$, лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, поэтому его абсцисса равна $\dfrac{28+21}{2}=24{,}5$. Окружность касается оси $Oy$, значит расстояние от центра до неё равно радиусу, а это расстояние и есть абсцисса центра:

$R=24{,}5$.