Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038737

График склеен из двух кусков с границей в точке $x=-2$: справа парабола, слева ветвь гиперболы.

Правый кусок, $x\geq -2$: $y=x^{2}+2x+1$. Это полный квадрат: $x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$. Парабола ветвями вверх с вершиной $(-1;0)$, и вершина попадает в область $x\geq -2$. Начало куска: при $x=-2$ получаем $y=(-2+1)^{2}=1$, точка $(-2;1)$ закрашена. Кусок спускается от $(-2;1)$ к вершине $(-1;0)$ и дальше неограниченно поднимается вверх.

Левый кусок, $x\lt -2$: $y=-\dfrac{2}{x}$. При отрицательных $x$ дробь $-\dfrac{2}{x}$ положительна. При $x=-2$ формула дала бы $y=-\dfrac{2}{-2}=1$, но $x=-2$ этому куску не принадлежит — точка $(-2;1)$ для него выколота. При движении влево значение убывает и стремится к нулю, не достигая его: например, при $x=-4$ получаем $0,5$, при $x=-20$ уже $0,1$. Значит кусок покрывает промежуток $0\lt y\lt 1$, каждое значение ровно один раз.

Важно: точка $(-2;1)$ на графике ЕСТЬ, её даёт парабола (закрашенная), а гипербола — нет.

Считаем пересечения с прямой $y=m$. Для параболы: $(x+1)^{2}=m$ при $m\geq 0$ даёт $x=-1\pm\sqrt{m}$; условию $x\geq -2$ меньший корень $-1-\sqrt{m}$ удовлетворяет при $\sqrt{m}\leq 1$, то есть при $m\leq 1$. Значит парабола даёт: $0$ точек при $m\lt 0$, одну при $m=0$ (вершина), две при $0\lt m\leq 1$, одну при $m\gt 1$.

• $m\lt 0$: $0+0=0$ точек;
• $m=0$: $1+0=1$ точка;
• $0\lt m\lt 1$: $2+1=3$ точки;
• $m=1$: $2+0=2$ точки;
• $m\gt 1$: $1+0=1$ точка.

Одна или две общие точки получаются при $m=0$ и при всех $m\geq 1$.