Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038735

График склеен из двух кусков, граница — точка $x=1$.

Правый кусок, $x\geq 1$: парабола $y=x^{2}-4x+5$. Ветви вверх. Вершина: $x_0=-\dfrac{-4}{2\cdot 1}=2$, $y_0=4-8+5=1$, то есть точка $(2;1)$, и она попадает в область $x\geq 1$. Удобно записать формулу в виде $y=(x-2)^{2}+1$ — сразу видно, что наименьшее значение равно $1$. Начало куска: при $x=1$ получаем $y=1-4+5=2$, точка $(1;2)$ закрашена. Кусок спускается от $(1;2)$ к вершине $(2;1)$ и дальше неограниченно поднимается.

Левый кусок, $x\lt 1$: прямая $y=x+3$. Возрастает. При $x=1$ формула дала бы $y=4$, но эта точка куску не принадлежит: $(1;4)$ выколота. При $x\lt 1$ получаем $y\lt 4$: луч даёт все значения строго меньше $4$, каждое ровно один раз.

Пересечения с прямой $y=m$. Для параболы решаем $(x-2)^{2}+1=m$, то есть $(x-2)^{2}=m-1$. При $m\lt 1$ корней нет, при $m\geq 1$ получаем $x=2\pm\sqrt{m-1}$. Условию $x\geq 1$ меньший корень $2-\sqrt{m-1}$ удовлетворяет, когда $\sqrt{m-1}\leq 1$, то есть при $m\leq 2$. Значит парабола даёт: $0$ точек при $m\lt 1$, одну при $m=1$ (вершина), две при $1\lt m\leq 2$, одну при $m\gt 2$.

• $m\lt 1$: $0+1=1$ точка;
• $m=1$: $1+1=2$ точки;
• $1\lt m\leq 2$: $2+1=3$ точки;
• $2\lt m\lt 4$: $1+1=2$ точки;
• $m\geq 4$: $1+0=1$ точка (на уровне $4$ точка луча выколота).

Ровно две общие точки: при $m=1$ и при $2\lt m\lt 4$.