Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039016

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD=a$ и $BC=b$; углы при основании $AD$ равны $50^{\circ}$ и $40^{\circ}$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 15 и 13.

Шаг 1. Средняя линия. Отрезок между серединами боковых сторон — средняя линия трапеции, она равна $\dfrac{a+b}{2}$.

Шаг 2. Отрезок между серединами оснований. Так как $50^{\circ}+40^{\circ}=90^{\circ}$, продолжения боковых сторон дают прямой угол: продлим их до пересечения в точке $P$, тогда $\angle APD=180^{\circ}-50^{\circ}-40^{\circ}=90^{\circ}$. Пусть $M$ — середина $AD$, $N$ — середина $BC$. В прямоугольном треугольнике $APD$ медиана к гипотенузе $PM=\dfrac{a}{2}$, в подобном ему прямоугольном треугольнике $BPC$ медиана $PN=\dfrac{b}{2}$, и точки $P$, $N$, $M$ лежат на одной прямой. Значит,

$MN=PM-PN=\dfrac{a-b}{2}$.

Шаг 3. Система уравнений. Полусумма оснований больше их полуразности, поэтому 15 — средняя линия, 13 — отрезок между серединами оснований:

$a+b=30$, $\quad a-b=26$.

Шаг 4. Решение. Сложив уравнения, получаем $2a=56$, $a=28$, тогда $b=30-28=2$. Проверка: $\dfrac{28+2}{2}=15$ и $\dfrac{28-2}{2}=13$ — совпало с условием.