ID: 00039022
Источник: ФИПИ
Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD=a$ и $BC=b$; углы при основании $AD$ равны $80^{\circ}$ и $10^{\circ}$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 20 и 17.
Шаг 1. Средняя линия. Отрезок между серединами боковых сторон — это средняя линия трапеции, равная $\dfrac{a+b}{2}$.
Шаг 2. Отрезок между серединами оснований. Так как $80^{\circ}+10^{\circ}=90^{\circ}$, продлим боковые стороны до пересечения в точке $P$: угол при вершине $P$ в треугольнике $APD$ равен $180^{\circ}-80^{\circ}-10^{\circ}=90^{\circ}$, то есть треугольник прямоугольный с гипотенузой $AD$. Пусть $M$ — середина $AD$, $N$ — середина $BC$. Медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе равна её половине, поэтому $PM=\dfrac{a}{2}$; в подобном прямоугольном треугольнике $BPC$ соответствующая медиана $PN=\dfrac{b}{2}$, и точки $P$, $N$, $M$ лежат на одной прямой. Значит,
$MN=PM-PN=\dfrac{a-b}{2}$.
Шаг 3. Система уравнений. Полусумма оснований больше полуразности, поэтому 20 — средняя линия, 17 — отрезок между серединами оснований:
$a+b=40$, $\quad a-b=34$.
Шаг 4. Решение. Сложив уравнения, получаем $2a=74$, $a=37$, тогда $b=40-37=3$. Проверка: $\dfrac{37+3}{2}=20$ и $\dfrac{37-3}{2}=17$ — всё сходится.