Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039020

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD=a$ и $BC=b$; углы при основании $AD$ равны $39^{\circ}$ и $51^{\circ}$, отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 19 и 17.

Шаг 1. Средняя линия. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, — средняя линия, она равна полусумме оснований $\dfrac{a+b}{2}$.

Шаг 2. Отрезок между серединами оснований. Так как $39^{\circ}+51^{\circ}=90^{\circ}$, продлим боковые стороны до пересечения в точке $P$: в треугольнике $APD$ угол при $P$ равен $180^{\circ}-39^{\circ}-51^{\circ}=90^{\circ}$. Пусть $M$ — середина $AD$, $N$ — середина $BC$. Медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе равна её половине: $PM=\dfrac{a}{2}$, а в подобном прямоугольном треугольнике $BPC$ $PN=\dfrac{b}{2}$; точки $P$, $N$, $M$ лежат на одной прямой, поэтому

$MN=PM-PN=\dfrac{a-b}{2}$.

Шаг 3. Система. Полусумма оснований больше полуразности, поэтому 19 — это средняя линия, а 17 — отрезок между серединами оснований:

$a+b=38$, $\quad a-b=34$.

Шаг 4. Решение. Складывая уравнения, получаем $2a=72$, $a=36$, тогда $b=38-36=2$. Проверка: $\dfrac{36+2}{2}=19$ и $\dfrac{36-2}{2}=17$ — обе величины совпали с данными.