Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039018

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, его противоположные стороны $AB=34$ и $CD=22$, диагонали пересекаются в точке $K$ под углом $\angle AKB=60^{\circ}$. Найдём радиус описанной окружности.

Шаг 1. Угол между хордами. Диагонали — хорды окружности. Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме дуг, на которые опираются он сам и вертикальный ему угол. Угол $AKB$ опирается на дуги $AB$ и $CD$, значит

$\smile AB+\smile CD=2\cdot 60^{\circ}=120^{\circ}$.

Шаг 2. Хорды через радиус. Пусть $\smile AB=2\alpha$, $\smile CD=2\beta$, тогда $\alpha+\beta=60^{\circ}$. Вписанный угол равен половине дуги, поэтому по теореме синусов в расширенной форме $AB=2R\sin\alpha=34$ и $CD=2R\sin\beta=22$.

Шаг 3. Вспомогательный треугольник. Рассмотрим треугольник, вписанный в ту же окружность, с углами $\alpha$, $\beta$ и $180^{\circ}-(\alpha+\beta)=120^{\circ}$: его стороны против углов $\alpha$ и $\beta$ равны 34 и 22, а сторона против угла $120^{\circ}$ равна $2R\sin 120^{\circ}=R\sqrt{3}$. По теореме косинусов ($\cos 120^{\circ}=-\dfrac{1}{2}$):

$3R^{2}=AB^{2}+CD^{2}+AB\cdot CD$.

Шаг 4. Подставляем числа.

$3R^{2}=34^{2}+22^{2}+34\cdot 22=1156+484+748=2388$;

$R^{2}=\dfrac{2388}{3}=796$;

$R=\sqrt{796}=2\sqrt{199}\approx 28,21$.

Корень нацело не извлекается, поэтому ответ оставляем в виде $2\sqrt{199}$. Прикидка для проверки: $\sin\alpha=\dfrac{34}{2R}\approx 0,60$ ($\alpha\approx 37^{\circ}$), $\sin\beta=\dfrac{22}{2R}\approx 0,39$ ($\beta\approx 23^{\circ}$) — в сумме около $60^{\circ}$, как и должно быть.