Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039026

В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ боковые стороны равны $AB=20$ и $CD=29$, меньшее основание $BC=4$, а биссектриса угла $ADC$ проходит через середину боковой стороны $AB$. Нужна площадь трапеции.

Шаг 1. Достраиваем чертёж. Пусть $M$ — середина стороны $AB$, через которую проходит биссектриса угла $ADC$. Продлим луч $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $K$.

Шаг 2. Точка $M$ — центр симметрии. Сравним треугольники $AMD$ и $BMK$: $AM=MB$ (по условию $M$ — середина), $\angle AMD=\angle BMK$ как вертикальные, $\angle MAD=\angle MBK$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. По второму признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих угла) эти треугольники равны, значит

$BK=AD$, а точка $M$ — середина отрезка $DK$.

Из равенства следует ещё и то, что луч $BK$ направлен противоположно лучу $AD$, то есть точка $B$ лежит между $K$ и $C$.

Шаг 3. Треугольник $DKC$ равнобедренный. Так как $DM$ — биссектриса, $\angle ADK=\angle KDC$. С другой стороны, $\angle ADK=\angle DKC$ как накрест лежащие при $AD$ параллельно $BC$ и секущей $DK$. Значит $\angle KDC=\angle DKC$, и треугольник $DKC$ равнобедренный:

$CK=CD=29$.

Шаг 4. Находим большее основание. Так как $B$ лежит между $K$ и $C$, то $CK=CB+BK$, а $BK=AD$ по шагу 2:

$29=4+AD$, откуда $AD=25$.

Шаг 5. Высота трапеции. Проведём через вершину $B$ прямую, параллельную $CD$, до пересечения с $AD$ в точке $P$. Тогда $BCDP$ — параллелограмм, поэтому $BP=CD=29$ и $PD=BC=4$, а

$AP=AD-PD=25-4=21$.

В треугольнике $ABP$ стороны равны $20$, $21$ и $29$. Проверим по обратной теореме Пифагора: $20^{2}+21^{2}=400+441=841=29^{2}$ — значит треугольник прямоугольный с прямым углом между сторонами 20 и 21. Его площадь

$S_{ABP}=\dfrac{1}{2}\cdot 20\cdot 21=210$.

Высота трапеции — это высота этого треугольника, опущенная на сторону $AP=21$ (она лежит на прямой $AD$):

$h=\dfrac{2\cdot 210}{21}=20$.

Шаг 6. Площадь трапеции. Площадь равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

$S=\dfrac{BC+AD}{2}\cdot h=\dfrac{4+25}{2}\cdot 20=\dfrac{29}{2}\cdot 20=290$.