Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039033

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $N$: $AM=16$, $AN=39$. Окружность проходит через $M$ и $N$ и касается луча $AB$, причём $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{39}}{8}$. Найдём радиус окружности.

Шаг 1. Синус угла $A$. Пусть $\alpha=\angle BAC$. По основному тригонометрическому тождеству

$\sin\alpha=\sqrt{1-\dfrac{39}{64}}=\sqrt{\dfrac{25}{64}}=\dfrac{5}{8}$.

Шаг 2. Длина касательной из точки $A$. Обозначим $T$ точку касания окружности с лучом $AB$. Из точки $A$ проведены касательная $AT$ и секущая, которая пересекает окружность в точках $M$ и $N$. По теореме о касательной и секущей

$AT^{2}=AM\cdot AN=16\cdot 39=624$, значит $AT=\sqrt{624}=4\sqrt{39}$.

Шаг 3. Где лежит центр. Введём координаты: начало в точке $A$, ось $Ox$ вдоль луча $AC$. Тогда $M(16;0)$, $N(39;0)$. Центр $O$ равноудалён от точек $M$ и $N$ (это точки одной окружности), поэтому лежит на серединном перпендикуляре к $MN$. Пусть $K$ — середина $MN$:

$AK=\dfrac{16+39}{2}=\dfrac{55}{2}$, и центр имеет координаты $O\left(\dfrac{55}{2};k\right)$, где $|k|=OK$ — расстояние от центра до прямой $AC$.

Шаг 4. Уравнение на $k$. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, поэтому $OT$ перпендикулярно лучу $AB$, то есть $T$ — основание перпендикуляра из $O$ на прямую $AB$, а $AT$ — проекция отрезка $AO$ на луч $AB$. Путь из $A$ в $O$ разложим на два отрезка: $AK$ вдоль $AC$ и $KO$ перпендикулярно $AC$. Их проекции на луч $AB$ равны $AK\cos\alpha$ и $k\sin\alpha$ (угол между $KO$ и лучом $AB$ равен $90^{\circ}-\alpha$). Значит

$AT=AK\cos\alpha+k\sin\alpha$, то есть $4\sqrt{39}=\dfrac{55}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{39}}{8}+k\cdot\dfrac{5}{8}$.

$4\sqrt{39}=\dfrac{55\sqrt{39}}{16}+\dfrac{5k}{8}$, откуда $\dfrac{5k}{8}=\dfrac{64\sqrt{39}-55\sqrt{39}}{16}=\dfrac{9\sqrt{39}}{16}$ и $k=\dfrac{9\sqrt{39}}{16}\cdot\dfrac{8}{5}=\dfrac{9\sqrt{39}}{10}$.

Шаг 5. Радиус. Перпендикуляр $OK$, опущенный из центра на хорду $MN$, делит её пополам:

$KM=\dfrac{39-16}{2}=\dfrac{23}{2}=11,5$.

В прямоугольном треугольнике $OKM$ гипотенуза $OM=R$, поэтому по теореме Пифагора

$R^{2}=KM^{2}+OK^{2}=11,5^{2}+\left(\dfrac{9\sqrt{39}}{10}\right)^{2}=132,25+\dfrac{81\cdot 39}{100}=132,25+31,59=163,84$;

$R=\sqrt{163,84}=12,8$.