ID: 00038983
Источник: ФИПИ
Пусть $O_{1}$ — центр первой окружности (радиус 45), $O_{2}$ — центр второй (радиус 55). Окружности касаются внешним образом, значит расстояние между центрами равно сумме радиусов: $O_{1}O_{2}=45+55=100$. Прямые $AC$ и $BD$ — общие касательные, $A$, $B$ — точки касания на первой окружности, $C$, $D$ — на второй.
Шаг 1. Обе искомые прямые перпендикулярны линии центров. Вся картинка симметрична относительно прямой $O_{1}O_{2}$: касательные $AC$ и $BD$ переходят друг в друга при отражении, а значит, точки $A$ и $B$ симметричны относительно $O_{1}O_{2}$, как и точки $C$ и $D$. Поэтому хорда $AB$ перпендикулярна $O_{1}O_{2}$, и хорда $CD$ тоже. Значит, прямые $AB$ и $CD$ параллельны, и расстояние между ними надо мерить вдоль линии центров.
Шаг 2. Длина общей касательной. Радиусы в точки касания перпендикулярны касательной: $O_{1}A\perp AC$ и $O_{2}C\perp AC$, поэтому $O_{1}A\parallel O_{2}C$. Опустим из $O_{1}$ перпендикуляр $O_{1}E$ на прямую $O_{2}C$. Тогда $AO_{1}EC$ — прямоугольник, значит $O_{1}E=AC$ и $CE=O_{1}A=45$, а $O_{2}E=55-45=10$. Из прямоугольного треугольника $O_{1}EO_{2}$ по теореме Пифагора
$AC^{2}=O_{1}E^{2}=O_{1}O_{2}^{2}-O_{2}E^{2}=100^{2}-10^{2}=10000-100=9900$.
Шаг 3. Проецируем касательную на линию центров. Пусть $A_{1}$ и $C_{1}$ — проекции точек $A$ и $C$ на прямую $O_{1}O_{2}$. Так как $AB\perp O_{1}O_{2}$, точка $A_{1}$ — это точка пересечения прямой $AB$ с линией центров, и точно так же $C_{1}$ — точка пересечения $CD$ с ней. Поэтому искомое расстояние между прямыми равно $A_{1}C_{1}$, то есть проекции отрезка $AC$ на линию центров: $A_{1}C_{1}=AC\cdot\cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между $AC$ и $O_{1}O_{2}$.
Шаг 4. Находим косинус. Прямая $AC$ параллельна $O_{1}E$, поэтому $\varphi=\angle EO_{1}O_{2}$, а из прямоугольного треугольника $O_{1}EO_{2}$ $\cos\varphi=\dfrac{O_{1}E}{O_{1}O_{2}}=\dfrac{AC}{100}$. Тогда
$A_{1}C_{1}=AC\cdot\dfrac{AC}{100}=\dfrac{AC^{2}}{100}=\dfrac{9900}{100}=99$.