Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039032

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$, точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Известно, что $AO=25$, расстояние от $O$ до прямой $AD$ равно 17, а до прямой $AC$ — 7. Найдём площадь параллелограмма.

Шаг 1. Радиус вписанной окружности. Расстояния от центра вписанной окружности до всех сторон треугольника одинаковы и равны радиусу. Прямая $AC$ содержит сторону треугольника $ABC$, поэтому

$r=7$,

и точно так же расстояние от $O$ до прямых $AB$ и $BC$ равно 7.

Шаг 2. Высота параллелограмма. Стороны $AD$ и $BC$ параллельны, расстояние между ними — высота $h$ параллелограмма (если основанием считать $BC$). Точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC$, значит между этими прямыми; до $BC$ расстояние 7, до $AD$ — 17. Складываем:

$h=17+7=24$.

Шаг 3. Угол при вершине $A$. Отрезок $AO$ — биссектриса угла $BAC$, потому что центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов треугольника. Перпендикуляр из $O$ к стороне $AB$ равен 7, гипотенуза $AO=25$, поэтому

$\sin\dfrac{\angle A}{2}=\dfrac{7}{25}$, $\cos\dfrac{\angle A}{2}=\sqrt{1-\dfrac{49}{625}}=\dfrac{24}{25}$.

Формулы двойного угла дают $\sin\angle A=2\cdot\dfrac{7}{25}\cdot\dfrac{24}{25}=\dfrac{336}{625}$ и $\cos\angle A=1-2\cdot\dfrac{49}{625}=\dfrac{527}{625}$.

Шаг 4. Две записи площади треугольника $ABC$. Пусть $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. Высота треугольника из вершины $A$ на $BC$ равна расстоянию между прямыми $AD$ и $BC$, то есть 24, поэтому

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot 24=12a$.

Формула через вписанную окружность: $S=r\cdot p$, где $p=\dfrac{a+b+c}{2}$. Значит

$12a=7\cdot\dfrac{a+b+c}{2}$, то есть $24a=7a+7(b+c)$ и $b+c=\dfrac{17a}{7}$.

Шаг 5. Произведение $bc$. Из формулы $S=\dfrac{1}{2}bc\sin\angle A$:

$\dfrac{1}{2}\cdot bc\cdot\dfrac{336}{625}=12a$, откуда $bc=\dfrac{12a\cdot 625}{168}=\dfrac{625a}{14}$.

Шаг 6. Теорема косинусов и уравнение на $a$.

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\angle A=(b+c)^{2}-2bc(1+\cos\angle A)$.

Считаем по частям: $(b+c)^{2}=\dfrac{289a^{2}}{49}$, $1+\cos\angle A=\dfrac{1152}{625}$, поэтому

$2bc(1+\cos\angle A)=2\cdot\dfrac{625a}{14}\cdot\dfrac{1152}{625}=\dfrac{2\cdot 1152a}{14}=\dfrac{1152a}{7}$.

Уравнение принимает вид $a^{2}=\dfrac{289a^{2}}{49}-\dfrac{1152a}{7}$. Умножаем на 49:

$49a^{2}=289a^{2}-8064a$, то есть $240a^{2}=8064a$ и $a=\dfrac{8064}{240}=33,6$.

Шаг 7. Площадь. Основание $BC=33,6$, высота $h=24$:

$S_{ABCD}=33,6\cdot 24=806,4$.

Проверка: тогда $b+c=\dfrac{17\cdot 33,6}{7}=81,6$ и $bc=\dfrac{625\cdot 33,6}{14}=1500$; теорема косинусов даёт $81,6^{2}-2\cdot 1500\cdot\dfrac{1152}{625}=6658,56-5529,6=1128,96=33,6^{2}$ — сходится.