Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039031

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$, точка $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Дано: $AO=25$, расстояние от $O$ до прямой $AD$ равно 19, расстояние от $O$ до прямой $AC$ равно 7. Найдём площадь параллелограмма.

Шаг 1. Радиус вписанной окружности. Центр вписанной окружности удалён от всех сторон треугольника на одно и то же расстояние — радиус $r$. Прямая $AC$ — сторона треугольника $ABC$, поэтому

$r=7$,

и до прямых $AB$ и $BC$ от точки $O$ тоже по 7.

Шаг 2. Высота параллелограмма. В параллелограмме $AD$ параллельна $BC$; расстояние между этими прямыми — высота $h$, опущенная на сторону $BC$. Точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC$, то есть между прямыми $AD$ и $BC$; до $BC$ от неё 7 (шаг 1), до $AD$ — 19 по условию. Значит

$h=19+7=26$.

Шаг 3. Половина угла $A$. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла $BAC$, поэтому $AO$ — биссектриса. Перпендикуляр из $O$ на сторону $AB$ равен $r=7$, а гипотенуза соответствующего прямоугольного треугольника равна $AO=25$, значит

$\sin\dfrac{\angle A}{2}=\dfrac{7}{25}$ и $\cos\dfrac{\angle A}{2}=\sqrt{1-\dfrac{49}{625}}=\dfrac{24}{25}$.

По формулам двойного угла $\sin\angle A=2\cdot\dfrac{7}{25}\cdot\dfrac{24}{25}=\dfrac{336}{625}$ и $\cos\angle A=1-2\cdot\dfrac{49}{625}=\dfrac{527}{625}$.

Шаг 4. Площадь треугольника $ABC$ двумя способами. Обозначим $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. Высота из вершины $A$ на сторону $BC$ равна расстоянию между прямыми $AD$ и $BC$, то есть $h=26$. Тогда

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot 26=13a$.

С другой стороны, $S=r\cdot p$, где $p=\dfrac{a+b+c}{2}$ — полупериметр. Приравниваем:

$13a=7\cdot\dfrac{a+b+c}{2}$, то есть $26a=7a+7(b+c)$, откуда $b+c=\dfrac{19a}{7}$.

Шаг 5. Произведение сторон. Ещё одна формула площади: $S=\dfrac{1}{2}bc\sin\angle A$. Значит

$\dfrac{1}{2}\cdot bc\cdot\dfrac{336}{625}=13a$, откуда $bc=\dfrac{13a\cdot 625}{168}=\dfrac{8125a}{168}$.

Шаг 6. Теорема косинусов. Для стороны $a$, противолежащей углу $A$:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\angle A=(b+c)^{2}-2bc(1+\cos\angle A)$.

Здесь $(b+c)^{2}=\dfrac{361a^{2}}{49}$, а $1+\cos\angle A=\dfrac{1152}{625}$, поэтому

$2bc(1+\cos\angle A)=2\cdot\dfrac{8125a}{168}\cdot\dfrac{1152}{625}=\dfrac{26a\cdot 1152}{168}=\dfrac{1248a}{7}$.

Получаем $a^{2}=\dfrac{361a^{2}}{49}-\dfrac{1248a}{7}$. Умножим на 49:

$49a^{2}=361a^{2}-8736a$, то есть $312a^{2}=8736a$ и $a=28$.

Шаг 7. Площадь параллелограмма. Основание $BC=28$, высота к нему $h=26$:

$S_{ABCD}=28\cdot 26=728$.