ID: 00039030
Источник: ФИПИ
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $AD$ (точка $D$ на стороне $BC$), $AD=81$. На стороне $BC$ как на диаметре построена полуокружность, которая пересекает высоту в точке $M$, причём $MD=9$. Точка $H$ — точка пересечения высот треугольника. Найдём $AH$.
Шаг 1. Прямой угол. Точка $M$ лежит на окружности, диаметром которой служит отрезок $BC$. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому
$\angle BMC=90^{\circ}$,
то есть треугольник $BMC$ прямоугольный, а $BC$ — его гипотенуза.
Шаг 2. Высота к гипотенузе даёт произведение отрезков. Точка $M$ лежит на высоте $AD$, перпендикулярной $BC$, поэтому и отрезок $MD$ перпендикулярен $BC$, то есть $MD$ — высота прямоугольного треугольника $BMC$, опущенная на гипотенузу. Такая высота есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу:
$MD^{2}=BD\cdot DC$, значит $BD\cdot DC=9^{2}=81$.
Шаг 3. Тот же продукт через ортоцентр. Точка $H$ лежит на высоте $AD$. Рассмотрим треугольники $BDH$ и $ADC$. Углы при вершине $D$ у обоих прямые, так как $AD$ перпендикулярна $BC$. Кроме того, $\angle DBH=90^{\circ}-\angle C$: прямая $BH$ содержит высоту из вершины $B$ и потому перпендикулярна $AC$. И $\angle DAC=90^{\circ}-\angle C$ — из прямоугольного треугольника $ADC$. Значит $\angle DBH=\angle DAC$, и треугольники подобны по двум углам. Из подобия
$\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{DH}{DC}$, то есть $AD\cdot DH=BD\cdot DC$.
Шаг 4. Вычисления. Приравнивая результаты шагов 2 и 3, получаем $AD\cdot DH=81$, а так как $AD=81$, то
$DH=\dfrac{81}{81}=1$.
Треугольник остроугольный, значит точка пересечения высот лежит внутри него, на отрезке $AD$. Поэтому
$AH=AD-DH=81-1=80$.