Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039028

Дана равнобедренная трапеция, в которую можно вписать окружность; её периметр равен 80, а площадь 320. Требуется найти расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания.

Шаг 1. Что даёт вписанная окружность. В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны. Значит сумма оснований равна сумме боковых сторон, а вместе они дают периметр:

(сумма оснований) $+$ (сумма боковых) $=80$, и обе суммы равны, поэтому каждая равна $\dfrac{80}{2}=40$.

Обозначим меньшее основание $a$, большее $b$. Тогда $a+b=40$, а каждая боковая сторона равна $\dfrac{40}{2}=20$ (трапеция равнобедренная, боковые стороны равны).

Шаг 2. Высота. Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту:

$S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h=\dfrac{40}{2}\cdot h=20h=320$, откуда $h=16$.

Шаг 3. Сами основания. Опустим из вершин меньшего основания две высоты на большее. В равнобедренной трапеции они отсекают по краям два равных прямоугольных треугольника, у каждого горизонтальный катет равен $\dfrac{b-a}{2}$, вертикальный равен $h=16$, а гипотенуза — боковая сторона 20. По теореме Пифагора

$\left(\dfrac{b-a}{2}\right)^{2}=20^{2}-16^{2}=400-256=144$, значит $\dfrac{b-a}{2}=12$ и $b-a=24$.

Из системы $a+b=40$ и $b-a=24$ получаем $b=32$, $a=8$.

Шаг 4. Точка пересечения диагоналей. Пусть диагонали пересекаются в точке $O$. Треугольники, отсекаемые диагоналями у меньшего и у большего основания, подобны: их углы попарно равны как накрест лежащие при параллельных основаниях и секущих-диагоналях. Коэффициент подобия равен отношению оснований $\dfrac{a}{b}$. У подобных треугольников соответствующие высоты относятся так же, поэтому расстояния от $O$ до меньшего и до большего основания относятся как $a:b=8:32=1:4$.

Шаг 5. Считаем расстояние. Сумма этих двух расстояний равна высоте трапеции, то есть 16, и делятся они в отношении $1:4$, то есть на $1+4=5$ равных частей. На долю расстояния до меньшего основания приходится одна часть:

$d=16\cdot\dfrac{8}{8+32}=16\cdot\dfrac{1}{5}=3,2$.