Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039027

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $AD$ (точка $D$ лежит на $BC$), $AD=72$. На стороне $BC$ как на диаметре построена полуокружность, она пересекает высоту в точке $M$, причём $MD=18$. Точка $H$ — точка пересечения высот (ортоцентр). Надо найти $AH$.

Шаг 1. Прямой угол из полуокружности. Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $BC$, значит вписанный угол $BMC$ опирается на диаметр и потому прямой:

$\angle BMC=90^{\circ}$.

Итак, треугольник $BMC$ прямоугольный с гипотенузой $BC$.

Шаг 2. Высота к гипотенузе. Точка $M$ лежит на высоте $AD$, а $AD$ перпендикулярна $BC$, поэтому $MD$ — тоже перпендикуляр к $BC$, то есть $MD$ — высота прямоугольного треугольника $BMC$, опущенная на гипотенузу. По свойству такой высоты (она есть среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы):

$MD^{2}=BD\cdot DC$, то есть $BD\cdot DC=18^{2}=324$.

Шаг 3. Связь ортоцентра с теми же отрезками. Точка $H$ лежит на высоте $AD$. Сравним треугольники $BDH$ и $ADC$: углы при вершине $D$ у обоих прямые ($AD$ перпендикулярна $BC$). Далее, $\angle DBH=90^{\circ}-\angle C$, потому что $BH$ лежит на высоте из вершины $B$ и перпендикулярна $AC$; и $\angle DAC=90^{\circ}-\angle C$ из прямоугольного треугольника $ADC$. Значит $\angle DBH=\angle DAC$, и по двум углам треугольники $BDH$ и $ADC$ подобны. Отсюда

$\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{DH}{DC}$, то есть $AD\cdot DH=BD\cdot DC$.

Шаг 4. Считаем. Правые части в шагах 2 и 3 совпадают, поэтому

$AD\cdot DH=324$, откуда $DH=\dfrac{324}{72}=4,5$.

Точка $H$ лежит на отрезке $AD$ (треугольник остроугольный, ортоцентр внутри), поэтому

$AH=AD-DH=72-4,5=67,5$.