Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039025

На стороне $AC$ лежат точки $M$ и $N$: $AM=12$, $AN=21$. Окружность проходит через $M$ и $N$ и касается луча $AB$; известно, что $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$. Нужен радиус этой окружности.

Шаг 1. Синус угла $A$. Обозначим $\alpha=\angle BAC$. По основному тригонометрическому тождеству

$\sin\alpha=\sqrt{1-\dfrac{7}{16}}=\sqrt{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3}{4}$.

Шаг 2. Длина касательной. Пусть $T$ — точка касания окружности с лучом $AB$. Из точки $A$ к окружности проведены касательная $AT$ и секущая, пересекающая окружность в точках $M$ и $N$. По теореме о касательной и секущей квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть:

$AT^{2}=AM\cdot AN=12\cdot 21=252$, значит $AT=\sqrt{252}=6\sqrt{7}$.

Шаг 3. Где находится центр. Введём координаты: точку $A$ поместим в начало, луч $AC$ направим по оси $Ox$. Тогда $M(12;0)$, $N(21;0)$. Центр $O$ равноудалён от $M$ и $N$ (это точки одной окружности), поэтому он лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $MN$. Середина $MN$ — точка $K$ с абсциссой

$AK=\dfrac{12+21}{2}=\dfrac{33}{2}$,

и центр имеет вид $O\left(\dfrac{33}{2};k\right)$, где $|k|=OK$ — расстояние от центра до прямой $AC$.

Шаг 4. Связываем $k$ с длиной касательной. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OT$ перпендикулярно $AB$, то есть $T$ — основание перпендикуляра, опущенного из $O$ на прямую $AB$. Значит $AT$ — это проекция отрезка $AO$ на направление луча $AB$. Разложим путь из $A$ в $O$ на две части: сначала $AK$ вдоль $AC$, затем $KO$ перпендикулярно $AC$. Проекция первой части на луч $AB$ равна $AK\cos\alpha$, проекция второй равна $k\sin\alpha$ (угол между $KO$ и лучом $AB$ равен $90^{\circ}-\alpha$). Складываем:

$AT=AK\cos\alpha+k\sin\alpha$, то есть $6\sqrt{7}=\dfrac{33}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{4}+k\cdot\dfrac{3}{4}$.

$6\sqrt{7}=\dfrac{33\sqrt{7}}{8}+\dfrac{3k}{4}$, отсюда $\dfrac{3k}{4}=\dfrac{48\sqrt{7}-33\sqrt{7}}{8}=\dfrac{15\sqrt{7}}{8}$ и $k=\dfrac{15\sqrt{7}}{8}\cdot\dfrac{4}{3}=\dfrac{5\sqrt{7}}{2}$.

Шаг 5. Радиус по теореме Пифагора. Отрезок $OK$ — перпендикуляр из центра к хорде $MN$, поэтому он делит хорду пополам: $KM=\dfrac{21-12}{2}=\dfrac{9}{2}$. В прямоугольном треугольнике $OKM$ гипотенуза $OM$ и есть радиус:

$R^{2}=OK^{2}+KM^{2}=\left(\dfrac{5\sqrt{7}}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{9}{2}\right)^{2}=\dfrac{175}{4}+\dfrac{81}{4}=\dfrac{256}{4}=64$;

$R=\sqrt{64}=8$.