Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039024

В треугольнике $ABC$ даны стороны $AB=14$ и $AC=98$, точка $O$ — центр описанной окружности. Прямая $BD$ проведена перпендикулярно прямой $AO$ и пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Надо найти $CD$.

Шаг 1. При чём здесь касательная. Проведём в точке $A$ касательную к описанной окружности. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому касательная в точке $A$ перпендикулярна прямой $AO$. Но прямая $BD$ тоже перпендикулярна $AO$ по условию. Два перпендикуляра к одной прямой параллельны между собой, значит

$BD$ параллельна касательной в точке $A$.

Шаг 2. Угол между касательной и хордой. По теореме об угле между касательной и хордой этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду с другой стороны. Для хорды $AB$ угол между касательной в точке $A$ и хордой $AB$ равен вписанному углу $ACB$. Так как $BD$ параллельна касательной, то при секущей $AB$ соответственные (накрест лежащие) углы равны, и мы получаем

$\angle ABD=\angle ACB$.

Шаг 3. Подобие треугольников. Сравним треугольники $ABD$ и $ACB$: угол $A$ у них общий, а $\angle ABD=\angle ACB$ по шагу 2. По первому признаку подобия (два угла) треугольники подобны, причём вершине $A$ отвечает $A$, вершине $B$ отвечает $C$, вершине $D$ отвечает $B$. Значит стороны пропорциональны:

$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$, откуда $AD=\dfrac{AB^{2}}{AC}$.

Шаг 4. Считаем.

$AD=\dfrac{14^{2}}{98}=\dfrac{196}{98}=2$.

Точка $D$ лежит на стороне $AC$, поэтому

$CD=AC-AD=98-2=96$.

Заметим, что ответ не зависит от формы треугольника: он определяется только длинами $AB$ и $AC$, и формула коротко выглядит так: $CD=\dfrac{AC^{2}-AB^{2}}{AC}=\dfrac{9604-196}{98}=96$ — то же самое число.