ID: 00039023
Источник: ФИПИ
Дан параллелограмм $ABCD$ с диагональю $AC$, а $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Известны три расстояния: $AO=25$, расстояние от $O$ до прямой $AD$ равно 13, расстояние от $O$ до прямой $AC$ равно 7. Нужна площадь параллелограмма.
Шаг 1. Радиус вписанной окружности. Центр вписанной окружности одинаково удалён от всех трёх сторон треугольника, и это общее расстояние и есть радиус $r$. Прямая $AC$ — сторона треугольника $ABC$, значит $r=7$. Тем самым и до прямой $BC$, и до прямой $AB$ от точки $O$ ровно 7.
Шаг 2. Высота параллелограмма. В параллелограмме $AD\parallel BC$, то есть прямые $AD$ и $BC$ параллельны, а расстояние между ними — это и есть высота $h$ параллелограмма (если считать основанием сторону $BC$). Точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC$, то есть между этими прямыми. От неё до $BC$ расстояние 7 (шаг 1), до $AD$ — 13 по условию, поэтому
$h=13+7=20$.
Шаг 3. Половина угла $A$. Отрезок $AO$ — биссектриса угла $BAC$ (центр вписанной окружности лежит на биссектрисах всех углов). Опустим из $O$ перпендикуляр на сторону $AB$: его длина равна $r=7$. В получившемся прямоугольном треугольнике гипотенуза $AO=25$, противолежащий катет 7, поэтому
$\sin\dfrac{\angle A}{2}=\dfrac{7}{25}$, а тогда $\cos\dfrac{\angle A}{2}=\sqrt{1-\dfrac{49}{625}}=\dfrac{24}{25}$.
По формулам двойного угла: $\sin\angle A=2\cdot\dfrac{7}{25}\cdot\dfrac{24}{25}=\dfrac{336}{625}$, $\cos\angle A=1-2\cdot\dfrac{49}{625}=\dfrac{527}{625}$.
Шаг 4. Два выражения для площади треугольника $ABC$. Обозначим $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. Высота треугольника $ABC$, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$, равна расстоянию от прямой $AD$ до прямой $BC$, то есть $h=20$. Значит
$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot 20=10a$.
С другой стороны, площадь через радиус вписанной окружности: $S=r\cdot p$, где $p=\dfrac{a+b+c}{2}$ — полупериметр. Отсюда
$10a=7\cdot\dfrac{a+b+c}{2}\Rightarrow 20a=7a+7(b+c)\Rightarrow b+c=\dfrac{13a}{7}$.
Шаг 5. Произведение $bc$. Площадь того же треугольника через две стороны и угол между ними: $S=\dfrac{1}{2}bc\sin\angle A$. Приравниваем к $10a$:
$\dfrac{1}{2}\cdot bc\cdot\dfrac{336}{625}=10a\Rightarrow bc=\dfrac{10a\cdot 625}{168}=\dfrac{3125a}{84}$.
Шаг 6. Теорема косинусов — и находим $a$. Для стороны $a$, лежащей против угла $A$: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\angle A=(b+c)^{2}-2bc(1+\cos\angle A)$.
Считаем: $(b+c)^{2}=\dfrac{169a^{2}}{49}$, а $1+\cos\angle A=1+\dfrac{527}{625}=\dfrac{1152}{625}$, поэтому
$2bc(1+\cos\angle A)=2\cdot\dfrac{3125a}{84}\cdot\dfrac{1152}{625}=\dfrac{10a\cdot 1152}{84}=\dfrac{960a}{7}$.
Получаем уравнение $a^{2}=\dfrac{169a^{2}}{49}-\dfrac{960a}{7}$. Умножим обе части на 49:
$49a^{2}=169a^{2}-6720a\Rightarrow 120a^{2}=6720a\Rightarrow a=56$.
Шаг 7. Площадь параллелограмма. Основание $BC=a=56$, высота к нему $h=20$:
$S_{ABCD}=56\cdot 20=1120$.
Проверка: тогда $b+c=\dfrac{13\cdot 56}{7}=104$ и $bc=\dfrac{3125\cdot 56}{84}=\dfrac{6250}{3}$, и теорема косинусов даёт $104^{2}-\dfrac{12500}{3}-\dfrac{10540}{3}=3136=56^{2}$ — сходится.