Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039021

В остроугольном треугольнике $ABC$ высота $AD=80$ проведена к стороне $BC$; полуокружность, построенная на $BC$ как на диаметре, пересекает высоту в точке $M$, причём $MD=64$; $H$ — точка пересечения высот. Найдём $AH$.

Шаг 1. Прямой угол. Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $BC$, а вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой: $\angle BMC=90^{\circ}$. Значит, треугольник $BMC$ прямоугольный с гипотенузой $BC$.

Шаг 2. Высота к гипотенузе. $MD\perp BC$, то есть $MD$ — высота из вершины прямого угла на гипотенузу, а её квадрат равен произведению отрезков гипотенузы: $MD^{2}=BD\cdot DC$. Поэтому $BD\cdot DC=64^{2}=4096$.

Шаг 3. Связь с ортоцентром. Проведём высоту $BE$; она пересекает $AD$ в точке $H$. Прямоугольные треугольники $BDH$ и $ADC$ подобны: углы при вершине $D$ прямые, $\angle DBH=\angle DAC$ (оба дополняют угол $C$ до $90^{\circ}$). Отсюда $\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{DH}{DC}$, то есть $AD\cdot DH=BD\cdot DC$.

Шаг 4. Вычисления. $DH=\dfrac{4096}{80}=51,2$, значит

$AH=AD-DH=80-51,2=28,8$.