Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039014

Окружность проходит через точки $M$ и $N$ стороны $AC$ ($AM=8$, $AN=30$) и касается луча $AB$ в точке $T$; дано $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$. Найдём радиус $R$.

Шаг 1. Синус угла $A$. $\sin^{2}A=1-\dfrac{15}{16}=\dfrac{1}{16}$, значит $\sin A=\dfrac{1}{4}$ (угол треугольника, синус положителен).

Шаг 2. Касательная и секущая. Из точки $A$ проведены касательная $AT$ и секущая через $M$ и $N$, поэтому $AT^{2}=AM\cdot AN=8\cdot 30=240$ и $AT=\sqrt{240}=4\sqrt{15}$.

Шаг 3. Центр окружности. Пусть $O$ — центр. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной: $OT\perp AB$, $OT=R$. Опустим перпендикуляр $OP$ на прямую $AC$: он делит хорду $MN$ пополам, поэтому $AP=\dfrac{8+30}{2}=19$.

Шаг 4. Проекция ломаной $A\to T\to O$ на прямую $AC$. Проекция $AT$ равна $AT\cos A=4\sqrt{15}\cdot\dfrac{\sqrt{15}}{4}=15$. Отрезок $TO$ перпендикулярен $AB$, поэтому образует с $AC$ угол $90^{\circ}-A$, и его проекция равна $R\sin A$. Суммарная проекция равна проекции отрезка $AO$, то есть $AP$:

$15+\dfrac{R}{4}=19$.

Шаг 5. Радиус. $\dfrac{R}{4}=4$, значит $R=16$.