ID: 00039013
Источник: ФИПИ
В трапеции $ABCD$ основания — $BC=1$ и $AD$, боковые стороны $AB=6$ и $CD=10$, а биссектриса угла $ADC$ проходит через середину $M$ стороны $AB$. Второго основания нет — найдём его первым.
Шаг 1. Продолжение биссектрисы. Продолжим луч $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $P$. Треугольники $AMD$ и $BMP$ равны: $AM=MB$ ($M$ — середина $AB$), $\angle AMD=\angle BMP$ (вертикальные), $\angle MAD=\angle MBP$ (накрест лежащие при $AD\parallel BC$). Отсюда $BP=AD$.
Шаг 2. Равнобедренный треугольник. $\angle BPD=\angle ADP$ (накрест лежащие при $BC\parallel AD$ и секущей $DP$), а $\angle ADP=\angle PDC$, так как $DP$ — биссектриса. Значит, $\angle CPD=\angle CDP$, треугольник $PCD$ равнобедренный и $CP=CD=10$.
Шаг 3. Второе основание. Точка $B$ лежит между $P$ и $C$, поэтому $CP=CB+BP$: $10=1+AD$, откуда $AD=9$.
Шаг 4. Высота. Через вершину $C$ проведём прямую, параллельную $AB$, до пересечения с $AD$ в точке $K$. Тогда $ABCK$ — параллелограмм: $AK=BC=1$, $CK=AB=6$, а $KD=AD-AK=9-1=8$. В треугольнике $KCD$ стороны 6, 8 и 10, и $6^{2}+8^{2}=36+64=100=10^{2}$ — по теореме, обратной теореме Пифагора, он прямоугольный с прямым углом при вершине $K$. Значит, $CK\perp AD$ и высота трапеции $h=6$.
Шаг 5. Площадь.
$S=\dfrac{BC+AD}{2}\cdot h=\dfrac{1+9}{2}\cdot 6=5\cdot 6=30$.