Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039012

В треугольнике $ABC$ даны $AB=60$, $AC=80$; $O$ — центр описанной окружности, прямая $BD\perp AO$ пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдём $CD$.

Шаг 1. Касательная в точке $A$. Проведём касательную $t$ к описанной окружности в точке $A$. Она перпендикулярна радиусу $AO$. Но и $BD\perp AO$ по условию, поэтому $BD\parallel t$.

Шаг 2. Угол между касательной и хордой. Угол между касательной $t$ и хордой $AB$ равен вписанному углу, опирающемуся на хорду $AB$, то есть $\angle ACB$.

Шаг 3. Равенство углов. Так как $BD\parallel t$, а $AB$ — секущая, то накрест лежащие углы равны: $\angle ABD=\angle ACB$.

Шаг 4. Подобие. У треугольников $ABD$ и $ACB$ угол $A$ общий и $\angle ABD=\angle ACB$, поэтому они подобны по двум углам. Значит, $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AC}$, то есть $AB^{2}=AD\cdot AC$.

Шаг 5. Вычисления. $AD=\dfrac{60^{2}}{80}=\dfrac{3600}{80}=45$, поэтому

$CD=AC-AD=80-45=35$.