Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039011

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $AD=9$ к стороне $BC$; полуокружность, построенная на $BC$ как на диаметре, пересекает эту высоту в точке $M$, $MD=3$; $H$ — точка пересечения высот. Найдём $AH$.

Шаг 1. Прямой угол из диаметра. Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $BC$, а вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой: $\angle BMC=90^{\circ}$. Значит, треугольник $BMC$ прямоугольный с гипотенузой $BC$.

Шаг 2. Свойство высоты к гипотенузе. Отрезок $MD$ перпендикулярен $BC$ — это высота из вершины прямого угла. Она равна среднему геометрическому отрезков гипотенузы: $MD^{2}=BD\cdot DC$, поэтому $BD\cdot DC=3^{2}=9$.

Шаг 3. Ортоцентр. Проведём высоту $BE$; она пересекает $AD$ в точке $H$. Прямоугольные треугольники $BDH$ и $ADC$ подобны: углы при $D$ прямые, а $\angle DBH=\angle DAC$ (оба дополняют угол $C$ до $90^{\circ}$). Из подобия $\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{DH}{DC}$, то есть $AD\cdot DH=BD\cdot DC$.

Шаг 4. Считаем. $DH=\dfrac{9}{9}=1$, поэтому

$AH=AD-DH=9-1=8$.