Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039010

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD=a$ и $BC=b$, углы при основании $AD$ равны $86^{\circ}$ и $4^{\circ}$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 4 и 1.

Шаг 1. Средняя линия. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, — средняя линия трапеции, равная полусумме оснований $\dfrac{a+b}{2}$.

Шаг 2. Отрезок между серединами оснований. Ключевое наблюдение: $86^{\circ}+4^{\circ}=90^{\circ}$. Продлим боковые стороны до пересечения в точке $P$: в треугольнике $APD$ угол при $P$ равен $180^{\circ}-86^{\circ}-4^{\circ}=90^{\circ}$, значит треугольник прямоугольный с гипотенузой $AD$. Пусть $M$ — середина $AD$, $N$ — середина $BC$. Медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе равна её половине, поэтому $PM=\dfrac{a}{2}$, а в подобном ему прямоугольном треугольнике $BPC$ $PN=\dfrac{b}{2}$; точки $P$, $N$, $M$ лежат на одной прямой. Значит,

$MN=PM-PN=\dfrac{a-b}{2}$.

Шаг 3. Система. Полусумма больше полуразности, поэтому 4 — средняя линия, 1 — отрезок между серединами оснований:

$a+b=8$, $\quad a-b=2$.

Шаг 4. Решение. Складывая уравнения, получаем $2a=10$, $a=5$, тогда $b=8-5=3$. Проверка: $\dfrac{5+3}{2}=4$, $\dfrac{5-3}{2}=1$ — условия выполнены.