Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039009

Окружность проходит через точки $M$ и $N$ стороны $AC$ ($AM=9$, $AN=35$) и касается луча $AB$ в точке $T$; известно $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{35}}{6}$. Найдём радиус $R$.

Шаг 1. Синус угла $A$. $\sin^{2}A=1-\cos^{2}A=1-\dfrac{35}{36}=\dfrac{1}{36}$, и так как $A$ — угол треугольника, $\sin A=\dfrac{1}{6}$.

Шаг 2. Отрезок касательной. Из точки $A$ проведены касательная $AT$ и секущая, пересекающая окружность в точках $M$ и $N$. По теореме о касательной и секущей $AT^{2}=AM\cdot AN=9\cdot 35=315$, то есть $AT=\sqrt{315}=3\sqrt{35}$.

Шаг 3. Где центр. Пусть $O$ — центр окружности. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $OT\perp AB$, $OT=R$. Пусть $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из $O$ на прямую $AC$; перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, поэтому $P$ — середина $MN$ и $AP=\dfrac{9+35}{2}=22$.

Шаг 4. Проекция ломаной $A\to T\to O$ на прямую $AC$. Проекция отрезка $AT$ на $AC$ равна $AT\cos A=3\sqrt{35}\cdot\dfrac{\sqrt{35}}{6}=\dfrac{3\cdot 35}{6}=17,5$. Отрезок $TO$ перпендикулярен $AB$, поэтому с прямой $AC$ он образует угол $90^{\circ}-A$, и его проекция равна $R\cos(90^{\circ}-A)=R\sin A$. Суммарная проекция ломаной — это проекция отрезка $AO$, то есть $AP$:

$AT\cos A+R\sin A=AP$, то есть $17,5+\dfrac{R}{6}=22$.

Шаг 5. Находим радиус. $\dfrac{R}{6}=4,5$, значит $R=27$.