Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039008

В треугольнике $ABC$ даны $AB=84$ и $AC=98$, $O$ — центр описанной окружности, прямая $BD\perp AO$ пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдём $CD$.

Шаг 1. Касательная в точке $A$. Проведём касательную $t$ к описанной окружности в точке $A$. Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания, поэтому $t\perp AO$. По условию $BD\perp AO$, а значит, $BD\parallel t$ (две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны).

Шаг 2. Угол между касательной и хордой. По соответствующей теореме угол между касательной $t$ и хордой $AB$ равен вписанному углу, опирающемуся на $AB$, то есть $\angle ACB$.

Шаг 3. Равные углы. Из параллельности $BD\parallel t$ и секущей $AB$ накрест лежащие углы равны, поэтому $\angle ABD=\angle ACB$.

Шаг 4. Подобие. Треугольники $ABD$ и $ACB$ подобны по двум углам (общий угол $A$ и $\angle ABD=\angle ACB$), откуда $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AC}$, то есть $AB^{2}=AD\cdot AC$.

Шаг 5. Числа. $AD=\dfrac{84^{2}}{98}=\dfrac{7056}{98}=72$, поэтому

$CD=AC-AD=98-72=26$.