Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039007

В трапеции $ABCD$ основания $BC=12$ и $AD=14$, боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$, а значит, и параллельному ему $AD$. Окружность проходит через $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Найдём расстояние от $E$ до прямой $CD$.

Шаг 1. Точка $P$. Основания различны ($12\ne 14$), поэтому прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$; обозначим угол между ними при вершине $P$ через $\gamma$.

Шаг 2. Выражаем секущую. В прямоугольном треугольнике $PBC$ ($AB\perp BC$): $\sin\gamma=\dfrac{BC}{PC}$, поэтому $PC=\dfrac{BC}{\sin\gamma}$. В прямоугольном треугольнике $PAD$ ($AB\perp AD$): $PD=\dfrac{AD}{\sin\gamma}$.

Шаг 3. Теорема о касательной и секущей. Прямая $AB$ касается окружности в точке $E$, а прямая $CD$ — секущая, поэтому

$PE^{2}=PC\cdot PD=\dfrac{AD\cdot BC}{\sin^{2}\gamma}$, значит $PE=\dfrac{\sqrt{AD\cdot BC}}{\sin\gamma}$.

Шаг 4. Расстояние до прямой $CD$. Оно равно $PE\cdot\sin\gamma$, поэтому

$d=\sqrt{AD\cdot BC}=\sqrt{14\cdot 12}=\sqrt{168}=2\sqrt{42}\approx 12,96$.

Заметь, что ни высота трапеции, ни радиус окружности на ответ не влияют.