Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039006

В трапеции $ABCD$ основания $BC=15$ и $AD=20$, боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$ (а значит, и $AD$). Окружность проходит через $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$; ищем расстояние от $E$ до прямой $CD$.

Шаг 1. Точка пересечения боковых прямых. Основания не равны ($15\ne 20$), поэтому прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Угол между ними при вершине $P$ обозначим $\gamma$.

Шаг 2. Отрезки $PC$ и $PD$. Треугольник $PBC$ прямоугольный ($AB\perp BC$): $\sin\gamma=\dfrac{BC}{PC}$, значит $PC=\dfrac{BC}{\sin\gamma}$. Треугольник $PAD$ прямоугольный ($AB\perp AD$): $PD=\dfrac{AD}{\sin\gamma}$.

Шаг 3. Касательная и секущая. Из точки $P$ проведены касательная $PE$ (по прямой $AB$) и секущая через $C$ и $D$, поэтому по теореме о касательной и секущей

$PE^{2}=PC\cdot PD=\dfrac{AD\cdot BC}{\sin^{2}\gamma}$, откуда $PE=\dfrac{\sqrt{AD\cdot BC}}{\sin\gamma}$.

Шаг 4. Искомое расстояние. Расстояние от точки $E$ до прямой $CD$ равно $PE\cdot\sin\gamma$ (катет прямоугольного треугольника с гипотенузой $PE$ и углом $\gamma$ при вершине $P$), поэтому

$d=\sqrt{AD\cdot BC}=\sqrt{20\cdot 15}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}\approx 17,32$.

Высота трапеции в ответ не вошла — результат определяется только основаниями.