Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039005

В треугольнике $ABC$ известны $AB=36$ и $AC=54$, $O$ — центр описанной окружности, прямая $BD\perp AO$ пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Нужно найти $CD$. Главная мысль: перпендикулярна радиусу $AO$ в точке $A$ ещё и касательная к описанной окружности.

Шаг 1. Параллельность. Пусть $t$ — касательная к описанной окружности в точке $A$. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому $t\perp AO$. По условию и $BD\perp AO$, а две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны: $BD\parallel t$.

Шаг 2. Угол между касательной и хордой. Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду: угол между $t$ и хордой $AB$ равен $\angle ACB$.

Шаг 3. Переносим угол. Так как $BD\parallel t$, а $AB$ — секущая, накрест лежащие углы равны, значит $\angle ABD=\angle ACB$.

Шаг 4. Подобие треугольников. В треугольниках $ABD$ и $ACB$ угол $A$ общий и $\angle ABD=\angle ACB$, поэтому они подобны по двум углам. Отсюда $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AC}$, то есть $AB^{2}=AD\cdot AC$.

Шаг 5. Вычисления. $AD=\dfrac{AB^{2}}{AC}=\dfrac{36^{2}}{54}=\dfrac{1296}{54}=24$, и так как $D$ лежит на стороне $AC$,

$CD=AC-AD=54-24=30$.