Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039003

Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности, значит она равноудалена от всех сторон треугольника. Расстояние до прямой $AC$ равно 5, поэтому радиус вписанной окружности $r=5$. Дано также $AO=13$ и расстояние от $O$ до прямой $AD$, равное 9.

Шаг 1. Отрезок касательной из вершины $A$. Пусть окружность касается сторон $AB$, $BC$, $CA$ в точках $K$, $M$, $L$. Радиус перпендикулярен стороне в точке касания, поэтому треугольник $AKO$ прямоугольный и $AK=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{144}=12$; кроме того, $AL=AK=12$ (отрезки касательных из одной точки равны). Обозначим $BK=BM=y$, $CL=CM=z$: тогда $BC=y+z$ и полупериметр $p=\dfrac{(12+y)+(y+z)+(z+12)}{2}=12+BC$.

Шаг 2. Высота параллелограмма. Прямые $AD$ и $BC$ параллельны, а точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC$, то есть между ними. Значит, расстояние между прямыми равно сумме расстояний от $O$ до каждой из них:

$h=9+5=14$.

Шаг 3. Два выражения для площади треугольника. Это расстояние — высота треугольника $ABC$, опущенная из $A$ на $BC$, поэтому $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot 14=7\,BC$; с другой стороны, $S_{ABC}=r\cdot p=5\,(BC+12)$. Приравниваем:

$7\,BC=5\,BC+60$;

$2\,BC=60$, значит $BC=30$.

Шаг 4. Площадь параллелограмма.

$S_{ABCD}=BC\cdot h=30\cdot 14=420$.