Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039002

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция, $AD=a$ — большее основание, $BC=b$ — меньшее, $AB=CD=c$. Периметр равен 220, площадь 2420, в трапецию можно вписать окружность.

Шаг 1. Свойство описанной трапеции. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны: $a+b=2c$. Так как $a+b+2c=220$, получаем $2(a+b)=220$, то есть

$a+b=110$ и $c=55$.

Шаг 2. Высота. Средняя линия $m=\dfrac{a+b}{2}=55$; площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту, поэтому $h=\dfrac{2420}{55}=44$.

Шаг 3. Основания по отдельности. Опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на большее основание. В равнобедренной трапеции $AH=\dfrac{a-b}{2}$, и по теореме Пифагора из треугольника $ABH$

$AH=\sqrt{55^{2}-44^{2}}=\sqrt{3025-1936}=\sqrt{1089}=33$,

значит $a-b=66$. Вместе с $a+b=110$ получаем $a=88$, $b=22$.

Шаг 4. Точка пересечения диагоналей. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны (вертикальные углы при $O$, накрест лежащие углы при $BC\parallel AD$) с коэффициентом $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{22}{88}=\dfrac{1}{4}$. Расстояния от $O$ до оснований относятся так же.

Шаг 5. Вычисление. Пусть расстояние до меньшего основания равно $x$, тогда до большего — $4x$, а вместе они дают высоту: $x+4x=44$, $5x=44$,

$x=8,8$.