ID: 00039001
Источник: ФИПИ
Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, поэтому она равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $AC$. Расстояние от $O$ до $AC$ равно 5 — это радиус вписанной окружности: $r=5$. Кроме того, $AO=13$, а расстояние от $O$ до прямой $AD$ равно 7.
Шаг 1. Отрезок касательной из вершины $A$. Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$, $BC$, $CA$ в точках $K$, $M$, $L$. Радиус в точку касания перпендикулярен стороне, поэтому треугольник $AKO$ прямоугольный, и по теореме Пифагора $AK=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$. Отрезки касательных из одной точки равны: $AL=AK=12$. Обозначим $BK=BM=y$, $CL=CM=z$; тогда $BC=y+z$, а полупериметр $p=\dfrac{(12+y)+(y+z)+(z+12)}{2}=12+BC$.
Шаг 2. Высота параллелограмма. В параллелограмме $AD\parallel BC$, а точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC$, то есть между прямыми $AD$ и $BC$. Поэтому расстояние между этими прямыми равно сумме расстояний от $O$ до каждой:
$h=7+5=12$.
Шаг 3. Площадь треугольника двумя способами. Это же расстояние — высота треугольника $ABC$ из вершины $A$ на сторону $BC$, поэтому $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot 12=6\,BC$. С другой стороны, $S_{ABC}=r\cdot p=5\,(BC+12)$. Приравниваем:
$6\,BC=5\,BC+60$, откуда $BC=60$.
Шаг 4. Площадь параллелограмма.
$S_{ABCD}=BC\cdot h=60\cdot 12=720$.