Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039000

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD=a$ и $BC=b$, углы при основании $AD$ равны $39^{\circ}$ и $51^{\circ}$. Даны длины двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон: 19 и 3.

Шаг 1. Первый отрезок — средняя линия. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, — это средняя линия трапеции, она равна полусумме оснований $\dfrac{a+b}{2}$.

Шаг 2. Второй отрезок — между серединами оснований. Заметим ключевое: $39^{\circ}+51^{\circ}=90^{\circ}$. Продлим боковые стороны до пересечения в точке $P$; в треугольнике $APD$ угол при $P$ равен $180^{\circ}-39^{\circ}-51^{\circ}=90^{\circ}$, то есть треугольник прямоугольный с гипотенузой $AD$. Пусть $M$ — середина $AD$, $N$ — середина $BC$. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине: $PM=\dfrac{a}{2}$. Треугольник $BPC$ подобен треугольнику $APD$ ($BC\parallel AD$) и тоже прямоугольный, его медиана к гипотенузе $PN=\dfrac{b}{2}$, а точки $P$, $N$, $M$ лежат на одной прямой. Значит,

$MN=PM-PN=\dfrac{a-b}{2}$.

Шаг 3. Составляем систему. Полусумма оснований больше полуразности, поэтому 19 — средняя линия, а 3 — отрезок между серединами оснований:

$a+b=38$, $\quad a-b=6$.

Шаг 4. Решаем. Складывая, получаем $2a=44$, $a=22$, тогда $b=38-22=16$. Проверка: $\dfrac{22+16}{2}=19$ и $\dfrac{22-16}{2}=3$ — всё совпало.