Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038999

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $AD$ к стороне $BC$, $AD=45$. На $BC$ как на диаметре построена полуокружность, она пересекает высоту в точке $M$, $MD=15$. Точка $H$ — ортоцентр (точка пересечения высот). Найдём $AH$.

Шаг 1. Прямой угол. Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $BC$, а вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Значит, $\angle BMC=90^{\circ}$, и треугольник $BMC$ прямоугольный с гипотенузой $BC$.

Шаг 2. Высота к гипотенузе. Отрезок $MD$ перпендикулярен $BC$, то есть это высота, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу. Её квадрат равен произведению отрезков гипотенузы: $MD^{2}=BD\cdot DC$, поэтому $BD\cdot DC=15^{2}=225$.

Шаг 3. То же произведение через ортоцентр. Проведём высоту $BE$ ($E$ на стороне $AC$); она пересекает $AD$ в точке $H$. Прямоугольные треугольники $BDH$ и $ADC$ подобны: углы при вершине $D$ прямые, а $\angle DBH=\angle DAC$, так как оба дополняют угол $C$ до $90^{\circ}$. Из подобия $\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{DH}{DC}$, то есть $AD\cdot DH=BD\cdot DC$.

Шаг 4. Считаем. $DH=\dfrac{225}{45}=5$, и так как $H$ лежит на отрезке $AD$ (треугольник остроугольный),

$AH=AD-DH=45-5=40$.